Står du midt i et byggeprojekt, skal du hjælpe med lektierne, eller er du bare nysgerrig på geometrien bag trekanter? I alle tilfælde kan det være lidt af en mundfuld at huske de præcise formler, når man skal udregne arealet af en trekant. Der er nemlig flere måder at gøre det på, afhængigt af hvilke oplysninger du har til rådighed.
Du behøver heldigvis ikke finde lommeregneren og formelsamlingen frem med det samme. Vi har gjort det nemt for dig. Indtast blot dine værdier i beregneren herunder, så får du resultatet med det samme. Vil du gerne forstå matematikken bag tallene, kan du læse meget mere under beregneren.
Beregn arealet af en trekant ved at indtaste dens grundlinje og højde. Sørg for at begge mål er i samme enhed (f.eks. cm).
Hvordan finder man arealet af en trekant med højde og grundlinje?
Når man spørger: "Hvordan finder man arealet af en trekant?", vil svaret i langt de fleste tilfælde være den helt klassiske arealformel. Det er den metode, de fleste lærer i skolen, og den kræver blot, at du kender to tal: højden (h) og grundlinjen (g).
Formlen lyder:
- A = 1/2 x h x g
Kort fortalt betyder det, at arealet er en halv gang højden ganget med grundlinjen.
Men hvad er en grundlinje egentlig? Grundlinjen er den side af trekanten, som du vælger som "bunden". Højden er den linje, der går vinkelret fra den modstående vinkelspids og ned på grundlinjen (eller en forlængelse af den).
Det er vigtigt, at du bruger den tilhørende grundlinje til den højde, du måler.
Hvis du bare kender disse to mål, er det ret simpelt at beregne trekantens areal.
Forskel på en retvinklet og en vilkårlig trekant
Ikke alle trekanter er ens, og det kan have betydning for, hvordan du griber beregningen an. Man skelner ofte mellem en retvinklet trekant og en såkaldt vilkårlig trekant.
I en retvinklet trekant er en af vinklerne præcis 90 grader. Det gør beregningen meget nem. Her udgør de to sider, der mødes i den rette vinkel (kaldet kateterne), nemlig automatisk højde og grundlinje. Arealet af en retvinklet trekant er derfor bare det halve af produktet af de to kateter. Siden overfor den rette vinkel kaldes hypotenusen.
En vilkårlig trekant dækker over trekanter, der ikke nødvendigvis har en ret vinkel. De kan være:
- Spidsvinklet trekant: Hvor alle tre vinkler er under 90 grader.
- Stumpvinklet trekant: Hvor én vinkel er over 90 grader.
I en vilkårlig trekant skal du være mere opmærksom på at tegne højden korrekt, da den i en stumpvinklet trekant kan falde uden for selve figuren. Her skal du forlænge grundlinjen for at måle højden korrekt.
Kender du trekantens sider? Brug Herons formel
Nogle gange står man i en situation, hvor man kender længden på alle tre sider (a,b og c), men man kender ikke højden. Det er svært at måle en højde præcist ude i virkeligheden uden det rette værktøj. Her kommer Herons formel dig til undsætning.
Med Herons formel kan du beregne arealet udelukkende ved hjælp af sidernes længde. Først finder man den halve omkreds, som ofte betegnes s:
s = 2a + b + c
Herefter kan arealet, findes ved kvadratroden af:
A=s(s−a)(s−b)(s−c)
Det er en utrolig smart metode til trekanter, hvor du kun har et målebånd ved hånden til at måle de tre sider, men ikke kan bestemme vinkler eller højde.
Geometri om den indskrevne og omskrevne cirkel
Bevæger vi os lidt dybere ned i geometrien, støder vi på begreber som den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel. Disse har også en sammenhæng med trekantens areal.
- Den indskrevne cirkel er den cirkel, der ligger inde i trekanten og rører alle tre sider præcist ét sted. Centrum for den indskrevne cirkel findes der, hvor trekantens vinkelhalveringslinjer skærer hinanden. Kender du radius i denne cirkel og trekantens omkreds, kan du faktisk også finde arealet.
- Den omskrevne cirkel er den cirkel, der går gennem alle trekantens tre hjørner. Centrum for den omskrevne cirkel ligger, hvor sidernes midtnormaler mødes.
Selvom disse begreber sjældent bruges til simpel hverdagsregning, er de vigtige brikker i forståelsen af, hvordan en trekant er konstrueret geometrisk.
Pythagoras og diverse vigtige begreber
Når vi taler om geometri og trekanter, kommer vi ikke udenom Pythagoras. Hans læresætning (a2+b2=c2) gælder kun for retvinklede trekanter. Den bruges ikke direkte til at finde arealet, men den er uundværlig, hvis du fx kender to sider i en retvinklet trekant og mangler den tredje for at kunne bruge arealformlen.
Der findes også særlige typer som en ligesidet trekant, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er 60 grader, eller en ligebenet trekant, hvor to sider er lige lange. I en ligesidet trekant findes der simplificerede formler, fordi symmetrien gør arbejdet lettere.
Andre begreber som median (linjen fra en vinkelspids til midten af modstående side) er også gode at kende, da de er med til at beskrive trekantens egenskaber.
Uanset hvilken trekant du står med, er princippet dog det samme: Det handler om at finde de rette mål – enten højde og grundlinje eller de tre sider – og så bruge den formel, der passer til opgaven.